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寻根究底 对症下药

阅读次数:139 发布时间:2016-03-02 发表人:管理员

 

——再议高中生数学思维障碍的成因及对策

 

 章勤康

 

摘  要:数学学习过程中思维障碍的普遍存在,无疑对培育良好的数学思维品质、发展学生的数学能力具有很大的阻碍作用.本文结合高中学生数学学习的实际,浅析数学思维障碍的成因和对策,旨在进一步提升高中数学教学的实效性.

关键词:数学学习  思维品质  思维障碍  成因  对策 

 

常听到学生这样反映:“老师,您讲课时我感觉到已经听得很明白,但一到自己解题时,还是经常出错,经常感到无从下手,这是什么原因呢?”.

目前,这一现象在高中生学习数学的过程中普遍存在,部分学生就是因此而丧失了学好数学的信心,致使少数初中数学学习的佼佼者沦为高中数学学习的失败者.

究其原因,应该是多方面的.笔者认为,学生在数学学习的过程中存在着一定的思维障碍是其最主要的原因.因此,教师分析学生产生思维障碍的根源、研究克服思维障碍的对策,对高中数学教学实践有着十分重要的意义.

一、形成数学思维障碍的主要原因

1.对数学概念的内涵和外延模糊不清.

学习概念,一方面要理解概念的内涵,同时也要明确概念的外延.所谓外延,即概念所涉及的范围和条件.任何一个数学概念都是内涵和外延的统一,如果概念的内念或外涵不清楚,无形之中就会缩小或扩大概念的使用范围,造成这样那样的思维错误.

案例1:已知 是数列的前项和,,那么数列是(   )

(A)是等比数列                      (B)当时是等比数列

(C)当时是等比数列       (D)不是等比数列

错解: 

∴当时,,  ∴选(C).

正解为(D),错解的原因在于没有准确理解等比数列的定义.

2.思维定势的干扰.

在思维定势的作用下,学生往往自觉或不自觉地认为某种知识的应用范围是定向的,解决问题的方法是定型的.因此,在面对新的问题情境时,思维定势的干扰表现为思维的呆板性,往往跳不出原有的框架,缺乏求异意识.

案例2:的值.

多数学生都想从问题的结构特征中去寻求规律性,造成思维障碍.

3.习惯性的单向思维.

由于每个学生的数学基础不尽相同,其思维方式也各有特点,部分学生习惯性的单向思维也会给解题过程带来不同的思维障碍.

案例3:个人站成一行,自1起报数,凡报奇数者离队,留下的再次自1起报数,凡报奇数者又离队,这样反复下去,最后留下一个人,问这个人第一次报数为多少?

解法探求:若按问题原程序,第一轮报数后划掉被淘汰者,第二轮报数后又划掉被淘汰者,如此下去要不了几轮就被搅乱了阵线.

4.问题中的“陷阱”.

    在数学命题中,命题者往往利用隐含条件设计一定的“陷阱”.比如:有的条件是题目中明确给出的,而有的条件却是隐含于其它已给条件之中或者有关的概念、公式、定理的限制条件中,如果学生对相关知识掌握不准确、观察不细致、考虑问题不严密,都容易形成思维障碍而造成错解.

    案例4:Δ中,  的值.                      

    错解:    

又∵ 

∴当时,

时,

二、克服数学思维障碍的途径和方法

1.强调观察.

任何一道数学题都包含一定的数学条件及其相互之间的关系.要想解决它,就必须依据题目的具体特征,对题目进行深入的、细致的、透彻的观察,通过认真思考,透过表看本质,探求解题思路,拟定解题策略,从中找到最佳的解题途径和解题方法.

例如,对于案例2中的数学问题,只要引导学生仔细观察,发现题中所显示的规律只是一种迷惑人的假象,并不能帮助解题,突破这种定势的干扰,最终发现出题中“即能迅速求解.

案例4,错解的原因在于没有注意到三角形的内角和必须为180°这个“隐含条件”,正解为:

   

又∵ 且∠是锐角;

若∠为钝角,则为锐角,由得:

,不符合题意;  ∴∠只能取锐角,  ∴只能取

.

所以,在数学教学中,应当引导学生作细致观察,对于已知条件中的每一个字都要反复推敲,不放过任何“蛛丝马迹”.

2.突出转化.

数学家·波利亚在《怎样解题》中说:“数学解题是命题的连续变换”.可见解题过程是通过问题的转化才能完成的,转化是数学解题的一种十分重要的思维方法.

那么,怎样转化呢?概括地讲:就是把复杂问题转化成简单问题,把抽象问题转化成具体问题,把未知问题转化成已知问题,恰当的转化能使问题变得熟悉而简单.

因此,在数学解题教学过程中,引导学生观察问题的具体特征、联想有关问题之后,就要寻求转化关系.

案例5:已知,,求证三数中必有两个互为相反数.

解题策略:将要证明的结论可以转化为来证明.

3.克服定势.

在数学教学中,应随时注意哪些地方容易形成思维定势,及时采取措施加以克服,使学生在面对新的问题情境时,能依据新的信息,及时调整思路,避免走进死胡同的被动局面.

实践表明,为了克服这一影响思维灵活性的障碍,多作变式变形训练是一个有效的措施.

所谓变式变形,就是不断变换问题的条件、结论,或变换形式、内容,得出不同水平的问题,在问题的发展和深化中,使学生从不同角度、不同侧面来理解问题的本质,使原有的孤立零碎的知识整体化,使学生灵活应用所学知识.

案例6:在椭圆上求一点,使它与两个焦点的连线互相垂直.

变式(1):对任何椭圆,是否都能在其上找到一点,使它与两个焦点的连线互相垂直.

变式(2):已知椭圆为其左右焦点,且,求∠的大小.

变式(3):已知椭圆为其左右焦点,是椭圆上一点,且∠,求Δ的面积.

变式(4):已知椭圆中心在原点,焦点在X轴上,离心率为左右焦点,是托圆上一点有,且∠,求椭圆方程.

设计连续的变题,逐步递进的练习,使一些难度大,知识覆盖面广的问题中的隐含条件和隐含问题明朗化,由于题组中各问题之间知识点相关联,不仅帮助学生分散了难点,而且有利于培养学生思维的连续性、灵活性.

4.重视联想.

联想就是由观察到的问题的具体特征,联想到相关的数学知识,并能获得思维的飞跃,从而迅速获得解题方法.

案例7: 求证:

观察待证不等式的结构和形式特点,即

多向地进行接近性或相似性联想,从不同的角度沟通联系,就得

联想1:不等式左边与坐标平面两点间的距离公式形式相同;

联想2:若设,则与椭圆的定义相同;

联想3:不等式左边与复数的模及性质的形式相同.

通过这种联想,就能得到简易的解题方法.(解答过程略)

5.注意辨析.

教师要善于引导学生精细地检查思维过程,及时发现、纠正思维偏差,不断总结经验、教训,自觉回顾、反思,及时调控思维过程.在数学教学过程中,可以通过对一些容易致误的数学问题的分析、思考,来提高学生的思维辨析能力.

案例8:实数为何值时,圆与抛物线有两个公共点.

错解将圆与抛物线 联立,消去

 

因为有两个公共点,所以方程①有两个相等正根,得  解之,得

原因分析:(如图12)显然,当时,圆与抛物线有两个公共点.要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根或有两个相等正根.

正解当方程①有一正根、一负根时,

 解之得:

因此,当时,

与抛物线有两个公共点.

6.强化反思.

学起于思,思源于疑,反思是学生思维原动力的驱动器,反思的过程是思维延伸、思维发散、思维优化的过程.通过反思,能“舍其形,取其质”,能触类旁通、推陈出新,能感悟解题思路,能优化数学思维.

在数学教学过程中,教师要注意培养学生的反思习惯,强化学生的反思意识,鼓励学生对问题的条件和结论进行反思.

案例9:过抛物线的焦点的一条直线和抛物线相交于两点,且点的纵坐标是,求证:.

分析:(1)由结论,联想到韦达定理,从而构造一元二次方程;

(2),是直线和抛物线交点的纵坐标,于是由直线的方程和抛物线的方程联立方程组后,消元得一元二次方程,…

本例(教材中的习题)可引导学生作如下反思:

(1)对结论作类比性反思(反思1、2);

(2)对结论作变式性反思(反思3、4);

(3)对结论作发散性反思(反思5、6);

(4)对反思5作逆向反思(反思7). 于是有:

反思1:

反思2:

反思3: 过抛物线的焦点的一条直线和该抛物线相交于两点,求的最小值;

反思4:

反思5: 过抛物线的焦点的一条直线和该抛物线相交于两点,经过点和抛物线的顶点的直线交准线与点,求证:直线平行于抛物线的对称轴;

反思6: 的几何意义;

反思7(高考题): 设抛物线的焦点为,经过点的一条直线交抛物线相交于两点,点在抛物线的准线上,且平行于轴,求证:直线经过原点.

7.注重逆求.

逆向思维在数学教材中可谓无所不在,运算与逆运算、函数与反函数、分析与综合、顺证与反证都为逆向思维的培养提供了丰富的材料.

在数学教学过程中,教师要引导学生体会逆向思维的重要性,认识逆向思维是与数学解题有密切联系的思维形式,引导学生在解题过程中,当正向思维受阻时就应考虑逆向探求,正难则反.

例如,对于案例4的问题,只要逆转程序思考,最后被留者的报数在倒数第1轮必为2,在倒数第2轮必为4,在倒数第3轮必为8…,于是极易倒推过去得出此人第一轮的报数为64.

8.突破创新.

在数学教学过程中,教师可以通过引导用不同的方法解决同一道数学问题、通过用同一方法解决不同的问题、通过一题多变等等,诱发和培养学生的创造性思维,这样,既可以开拓解题思路、巩固所学知识,又可以激发学习数学的兴趣,还可以开发潜能、发展智力、提高能力.

案例10:   求证:

分析1:由已知条件为实数这一特点,可提供设实系数二次方程的可能,在该二次方程有两个虚根的条件下,它们是一对共轭虚根,运用韦达定理可以探求证题途径.

证法1:时,可得条件不合.

于是有 

  ∴该方程有一对共轭虚根,设为,于是 

又由韦达定理知    

分析2:由于实数的共轭复数仍然是这个实数,利用这一关系可以建立复数方程,注意到这一重要性质,即可求出的值.

证法2:

时,可得条件不合,

则有,     

 

    ∴

  

分析3:因为实数的倒数仍为实数,若对原式取倒数,可变换化简为易于进行运算的形式.再运用共轭复数的性质,建立复数方程,具有更加简捷的特点.

证法3:

从而必有

说明:设出复数的代数形式或三角形式,代入已知条件化简求证,一般也能够证明,它是解决复数问题的基本方法,但这些方法通常运算量较大、较繁.现在的三种证法都应用复数的性质去证,技巧性较强,思路都建立在方程的观点上,这是需要体会的关键之处.证法3利用倒数的变换,十分巧妙,是最好的方法.

 

总之,高中数学思维具有更高的抽象性,并开始由抽象思维向辩证思维发展.为了有效克服以上所述的各种思维障碍,就必须认真研究学生思维障碍产生的根源,增强预见性和针对性,切实纠正学生思维过程中的错误和偏差,逐步培养学生良好的思维品质.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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参考文献:

1.任樟辉,数学思维论,广西教育出版社1996.4.

2.马灿宏,培养学生的创造思维,中学数学2005.1.

3.高兴发,高中生学习大讲义,浙江大学出版社,2005.6.

4.汪江松,重难点手册,华中师范大学出版社,2005.5.